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褶皱薄膜结构振动分析与控制

发布时间:2021年3月19日 点击数:2963

大型空间薄膜结构由于其质量轻、收藏体积小、成本低、易折叠等优点得到广泛关注,然而在张拉薄膜结构中通常存在褶皱[1],褶皱的存在不仅会降低薄膜结构的表面精度,还会改变薄膜中的应力分布,影响薄膜结构的动态性能[2,3]。已有文献中,KUKATHASAN et al[4]通过实验分析了不同褶皱形态下薄膜振动特性的变化,验证了褶皱的存在可改变薄膜结构的振型和固有频率;HOSSAIN et al[5]在ABAQUS软件中引入罚参数修正材料模型,说明褶皱对薄膜结构的振动特性有影响。因此,对薄膜结构进行动态特性分析时,应当考虑褶皱引起的质量矩阵和刚度矩阵的变化。

本文在ANSYS有限元软件中采用壳单元建立正方形薄膜结构,首先利用非线性有限元屈曲分析得到薄膜结构的褶皱形态[6],引入褶皱信息更新有限元模型进行模态分析,对比有无褶皱2种情况下薄膜结构各阶固有频率和模态振型。以初始褶皱形态作为振动平衡位置,在薄膜表面一点施加垂直于膜面方向的冲击扰动进行瞬态分析[7,8],得到褶皱薄膜的振动曲线。在此基础上,设计PID控制系统,通过MATLAB/ANSYS联合仿真验证控制方法对抑制振动的有效性,从而提高薄膜结构的在轨稳定性[9,10]

1 褶皱薄膜模态分析

建立图1所示正方形(边长L=500 mm)薄膜结构的有限元模型,薄膜杨氏模量E=2.5 GPa,泊松比ν=0.34,密度ρ=1 400 kg/m3,厚度h=25 μm。为避免应力集中、求解不收敛的情况,将4个角切除,L1=25 mm。边界条件为四角固支,在4个顶点处的直线上施加沿法线方向的位移载荷VX=1.0 mm,VY=0.25 mm。

图1 正方形薄膜结构位移载荷施加示意图

图1 正方形薄膜结构位移载荷施加示意图   下载原图

Fig. 1 Schematic diagram of square membrane structure with displacement loads

根据已有研究成果,当X方向和Y方向拉力比值大于等于4时形成贯穿中心的横向褶皱[6],更新模型并进行模态分析,去除噪声振型后提取前4阶固有频率和模态振型,如图2所示。从振型图上即可看到褶皱形态,说明褶皱对薄膜结构的动态特性产生了影响。

2 褶皱薄膜瞬态分析

薄膜结构自由振动时,仅考虑面外振动,振动构形函数为wv,考虑褶皱的存在,引入褶皱变形函数wz,则振动过程中薄膜弯曲形变势能Ep1为:

图2 前4阶固有频率和模态振型图

图2 前4阶固有频率和模态振型图   下载原图

Fig.2 Schematic diagram of the first four natural frequencies and modal shapes

 

薄膜的应变势能Ep2可以表示为:

Ep2=Ehm2(1-ν2)(εx2+εy2+2νεxεy+1-ν2γxy2)dxdy(2)

式中:εx,εy分别是X方向和Y方向的应变,γxy是切应变。它们与振动构形函数和褶皱变形函数的关系可以表示为:

 

将式(3)代入到式(2),得到薄膜应变势能的表达式为:

 
 

薄膜自由振动时的动能为:

Ev=12ρhm(wvt)2dxdy (5)

wvwz均表示成级数形式[11]:

 

将式(6)分别代入式(1)和(4),得到振动过程中总势能为:

Ep=Ep1+Ep2=12(kijklqijkl+kijqij+kijkl)(7)

将式(6)代入式(5),得到动能的表达式:

Ev=12mijq˙iq˙j (8)

式中:kijkl,kij,kijkl,mij的具体表达式如下:

kijkl=Ehm4(1-ν2)(wvixwvjxwvkxwvlx+wviywvjywvkywvly+2wvixwvjxwvkywvly)dxdykij=Δ(2wvix22wvjx2+2wviy22wvjy2+2ν2wvix22wvjy2+2(1-ν)2wvixy2wvjxy)dxdy-Ehm2(1-ν2)(wvixwvjxwzixwzjx+wviywvjywziywzjy+νwvixwvjxwziywzjy+νwviywvjywzixwzjx+2(1-ν)wvixwzixwvjywzjy)dxdykijkl=Ehm4(1-ν2)(wzixwzjxwzkxwzlx+wziywzjywzkywzly+2wzixwzjxwzkywzly)dxdymij=ρhmwviwvjdxdy

将式(7)-(8)代入拉格朗日方程,最终得到褶皱薄膜结构的非线性振动微分方程:

 

当膜面存在褶皱时,膜面上各点的振动平衡位置不再是0,根据上一节建立的有限元模型,当VX=1.0 mm,VY=0.25 mm时得到图3所示褶皱形态,各点褶皱幅值即为无振动时的平衡位。进行瞬态分析,在1.3 s时施加冲击扰动,扰动幅值为4 mm,作用时间为0.02 s,仿真总时间为4 s。在后处理/POST26中提取扰动施加节点号和褶皱峰值P点节点号对应的振动值,通过/OUTPUT指令将时间与振动值保存到文本文档中,绘制得到图4所示的扰动点处振动曲线图,可以看到,在1.3 s之前该点处于静止状态,1.3 s时出现扰动信号,之后膜面开始振动,振动频率约为28.5 Hz,与图2中的一阶固有频率值相吻合。

图3 褶皱形态

图3 褶皱形态   下载原图

Fig. 3 Wrinkle shape

图4 扰动点处的振动曲线

图4 扰动点处的振动曲线   下载原图

Fig. 4 Vibration curve at disturbance point

图5为褶皱峰值P点处的振动曲线,1.3 s前该点处初始平衡位置为褶皱变形量0.80 mm。

3 MATLAB/ANSYS联合振动控制仿真

如图6所示,在薄膜结构顶点附近安装压电作动器,通过垂直膜面的运动有效抑制薄膜振动。由于薄膜结构振动模型是高度耦合的非线性方程,很难基于模型设计控制器,因此在ANSYS中建立有限元模型进行瞬态分析作为被控对象,在MATLAB软件中设计不基于模型的PID控制器,如图7所示,yr(t)为参考输入信号,y(t)为ANSYS模型后处理提取的P点处振动量。PID控制器输出表达式为:

ua=Κpe(t)+Κi0te(t)dt+Κdddte(t) (10)

式中:Kp为比例系数,Ki为积分系数,Kd为微分系数,e(t)=y(t)-yr(t)为输出误差,压电作动器输入电压ua与压电作动器输出位移u之间近似成线性关系:

u=Kaua (11)

式中:Ka为压电常数。

图5 P点处的振动曲线

图5 P点处的振动曲线   下载原图

Fig. 5 Vibration curve at point P

图6 压电作动器安装示意图

图6 压电作动器安装示意图   下载原图

Fig. 6 Schematic diagram of membrane structure with piezoelectric actuators

图7 MATLAB/ANSYS联合振动控制系统框图

图7 MATLAB/ANSYS联合振动控制系统框图   下载原图

Fig. 7 Block diagram of MATLAB/ANSYS joint vibration control system

在MATLAB软件中编写m文件,设置Kp,Ki,Kd以及Ka的值。进行MATLAB与ANSYS联合仿真时,首先在ANSYS软件中进行褶皱薄膜瞬态分析,利用*GET命令提取P点振动值,然后用*VWRITE命令把数据写入由*CFOPEN打开的中转文本文件vibration.txt中,该文本文档中的数据在每次仿真后会被覆盖,在数据变化之前,由MATLAB通过textread命令读取结果并进行运算,运用save命令将计算得到的压电作动器输出位移保存到文本文档u.txt中,之后ANSYS采用*VREAD命令读取u.txt文档中的数据,引入有限元模型中,并进入下一次瞬态分析。程序自动按照先后顺序进行运算,设定运行时间为4 s,仿真结果如图8所示,认为输出误差在±0.01 mm内即满足要求,可以得到振动时间约为3.17 s,说明控制系统可有效抑制薄膜振动。

图8 PID控制P点处振动曲线

图8 PID控制P点处振动曲线   下载原图

Fig. 8 Vibration curve at point P with PID control

4 结论

通过仿真结果对比得到如下结论:引入褶皱后,在振型图上可以清晰地看到褶皱形态;从褶皱峰值点处振动曲线可以看到,其平衡位置点即为褶皱变形值,说明褶皱的存在改变了初始平衡状态;通过控制后的振动曲线可以看到,振动时间为3.17 s时将振幅控制在±0.01 mm内,验证了控制方法对抑制振动的有效性。

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