膜结构是用轻质高强柔性薄膜材料与一定的支承及张拉体系 (钢架、钢柱或钢索等) 相结合, 通过预张拉力而形成的具有一定刚度的空间稳定曲面, 既能承受一定的外荷载, 又能满足造型效果和使用功能, 是一种新型的建筑结构形式。

膜结构的一个显著特点是膜材的弯曲刚度很小, 本身没有抗弯和抗压能力, 不存在稳定的无应力状态, 需要对其施加一定的预张力以获得足够的结构刚度。在外荷载作用下, 膜材必须通过形状的改变, 靠膜面曲率的变化引起膜面的内力重分布, 将弯矩和剪力转变为轴力和面内应力来抵抗垂直于膜面的外荷载。当外荷载产生的压应力超过结构的预拉应力时, 膜结构将产生局部屈曲, 发生松弛或褶皱, 从而应力重新分布。如果结构在外荷载作用下产生的褶皱单元过多, 那么整个结构将失去承载能力。故褶皱发生时的应力分布状态与变形, 褶皱的形状及范围以及预防褶皱的产生与控制问题已成为膜结构方向的重要研究课题。薄膜的状态有三种可能性:薄膜或薄膜的部分区域拉紧, 有规则的褶皱或松弛。在有限元计算中我们在所有的积分点确定薄膜的状态。薄膜状态的确定有三个标准:应力标准、应变标准、混合应力应变标准, 从本质上来说三个标准是一致的。

我们采用通常的薄膜理论。

这个标准并不只对线性材料适用, 对所有的超弹性材料都是可行的。由于发生褶皱而横向应力为零时, 因为应变能量一定为正, 而正的应变会引起正的应力。这种情况是单轴拉伸状态。

应力张量为零, 根本没有刚度。

对于三维空间中的薄膜单元, 褶皱发生的必要条件和充分条件[3]如下所述:

必要条件:如果薄膜当前两材料点之间的距离要减小, 这时会出现褶皱区域;

充分条件:如果在薄膜单元实际构形中, 一个主应力的符号变为负的, 为了避免这个应力, 薄膜单元会在至少一个方向立刻出现褶皱。

这样, 对于在薄膜当前材料点计算的格林主应变{εGⅠ, εGⅡ}和柯西主应力{σCⅠ, σCⅡ}, 在εGⅠ>εGⅡ且σCⅠ>σCⅡ时, 褶皱的标准如下:

(1) 如果εGⅡ>0, 褶皱不会出现且薄膜点是拉紧的;

(2) 如果εGⅠ<0, 发生双向褶皱, 薄膜点是静态的;

(3) 如果εGⅠ>0且σCⅡ<0, 发生单向褶皱。

在膜结构褶皱的分析研究中有两种不同的方法:张力场分析理论和分歧分析理论。张力场理论假设膜材不能承受压应力, 这种方法已进行了很多的研究。分歧理论考虑屈曲分析对褶皱进行研究, 这方面的研究资料很少。

Wagner[10]最早对褶皱机理进行研究, 他在分析梁、桅杆结构中的薄腹板在剪力作用下超过初始屈曲值以后的性能时提出张力场理论。其基本思想是:在外荷载作用下, 最小主应力趋于零, 而最大主应力大于零的状态定义为张力场;褶皱的凸出和凹陷部分都是沿着最大主应力方向。在张力场理论中, 假定膜材不能承受压应力。目前, 以张力场理论为基础的研究方法主要有可变泊松比法、修正的变形梯度法、修正的本构矩阵法[2]三种。Roeman[7]提出的修正的变形梯度法是研究的热点。

根据Reissner[9]理论的观点, 在发生规则褶皱的薄膜上有一个单轴张力场。这个张力场的方向用单位向量nⅡ来表示, 垂直于nⅡ的方向nⅠ是褶皱方向。Roddeman的规则褶皱动力模型:当膜以变形梯度F沿nⅠ方向发生褶皱时, 膜面的长度l比实际的材料长度l′要短;在nⅠ, nⅡ平面内沿nⅠ方向通过弯曲作用展开褶皱 (假定这一过程无应力产生, 即褶皱展开后膜材沿nⅠ方向的应力仍为零) 。褶皱方向nⅠ的长度跟褶皱状态下的真实长度是一致的, 而方向nⅡ上的长度是不变的。我们称这个为虚拟构形 (变形梯度F′) 。这个虚拟状态的应变适合材料规则。

褶皱时膜面长度l与实际长度l′通过褶皱量度β联系:l′= (1+β) l, Roddeman定义虚拟的变形梯度:F′= (E+βnⅠ。nⅠ) ·F, E是单位张量。考虑弹性材料规则的第二Piola-Kirchhoff薄膜力张量: S=S (F′) 或σαβ=σαβ (F′iγ) 。

对于Euler-Cauchy薄膜力单轴应力条件用公式表示为

nⅠ⋅1JF′S(F′)F′t=0$n{}_{\mathrm{Ⅰ}}\cdot \frac{1}{J}{F}^{\prime }S(F^{\prime })F{}^{\prime t}=0$

式中, J=det (F′) , 此即为褶皱条件。

假设平均变形梯度F是已知的, 我们只需确定褶皱方向nⅠ和褶皱量度β。这需要利用两个条件:沿褶皱方向nⅠ的主应力为零; nⅠ, nⅡ是互相垂直的两个主应力方向, 即nⅠσnⅠ=0, nⅠσnⅡ=0。采用这一方法理论上可以计算出任意的膜结构 (包括各向异性、几何非线性大变形) , 但是在求解时, 需要采用牛顿迭代法求解联立方程, 由于表达式的复杂性导致迭代很难收敛。

为了得到更简单的非线性公式, Schoop等[5]引入了参考构形, 根据动力模型把虚拟的变形梯度和褶皱条件转化到参考平面。我们假设当前褶皱方向的单位向量nⅠ是参考面中向量h的材料图示 (h不是单位向量) :

nⅠ=F·h=h·Ft, h=F-1·nⅠ=nⅠ·Ft ( 1 )

这样虚拟变形梯度为:F′= (E+βnⅠ。h·Ft) F=F+βnⅠ。 (h·C) , C为以坐标Cαβ展开的动力模型中合适的Cauchy应变张量:C=Ft·F。当前切平面的参数β和nⅠ与参考平面的参数β*和NⅠ之间的关系为

h⋅C=1C∗√NⅠ,β=(1+2β∗C∗)−−−−−−−−−−√−1,$h\cdot C=\frac{1}{\sqrt{C{}^{*}}}{\rm N}{}_{\mathrm{Ⅰ}},\beta =\sqrt{(1+2\beta {}^{*}C{}^{*})}-1,$

nⅠ=1C∗√NⅠ⋅F−1$n{}_{\mathrm{Ⅰ}}=\frac{1}{\sqrt{C{}^{*}}}{\rm N}{}_{\mathrm{Ⅰ}}\cdot F{}^{-1}$

式中, C*=NⅠ·C-1·NⅠ。

以α作为NⅠ的参数:NⅠ=cosα·e1+sinα·e2, 由此得到褶皱条件:

{NⅠ⋅S(D′)⋅NⅠ=f1(α,β∗)=0NⅠ⋅S(D′)⋅NⅡ=f2(α,β∗)=0$\{\begin{array}{l}{\rm N}{}_{\mathrm{Ⅰ}}\cdot S(D^{\prime })\cdot {\rm N}{}_{\mathrm{Ⅰ}}=f{}_1(\alpha ,\beta {}^{*})=0\\ {\rm N}{}_{\mathrm{Ⅰ}}\cdot S(D^{\prime })\cdot {\rm N}{}_{\mathrm{Ⅱ}}=f{}_2(\alpha ,\beta {}^{*})=0\end{array}$

( 2 )

方程组 (2) 是α和β*的两个非线性代数方程, 采用牛顿迭代法可以求解:

[f1,αf2,αf1,β∗f2,β∗](ΔαΔβ)=(−f1−f2)   (3)$\left[\begin{array}{cc}f{}_{1,\alpha }& f{}_{1,\beta {}^{*}}\\ f{}_{2,\alpha }& f{}_{2,\beta {}^{*}}\end{array}\right]\left(\begin{array}{l}\text{Δ}\alpha \\ \text{Δ}\beta \end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}-f{}_1\\ -f{}_2\end{array}\right)(3)$

这里考虑参数α和β*是应力和应变关系的一部分, 且在每个积分点和牛顿有限元迭代法的每一步中求解方程组 (3) 。通常, 若α的估计值在合理的范围内, 内部迭代的收敛非常好。

另外一种可能性是考虑参数α和β*是除节点位移以外的有限元动力自由度。在这种情况下只有一个相同的牛顿迭代, 但是有限元方程组的大小依赖于褶皱薄膜点的数量。

Roddeman的褶皱情形被转化到初始参考构形, 得到更为简单的非线性公式, 这对线性和非线性各向异性弹性材料都是有效的。但在拉紧和褶皱状态间的有限区域, 应力应变关系是不平滑的, 这会对牛顿迭代法带来一些问题。由于大部分薄膜点在迭代步骤中不改变褶皱状态, 因此Schoop等应用链式法则, 对规则褶皱在有限元算法中的应用进行了一致线性化。在褶皱计算法则中的应用已经证实了这种方法的可行性和可靠性, 甚至对于非线性材料也是有效的。在一些较复杂的问题中, 褶皱的计算法则在有限元程序中得到实现。

褶皱是由于膜材分歧屈曲产生的变形, 因此利用分歧屈曲理论来分析褶皱是合理的。褶皱的形状通过这个方法能够精确的获得, 考虑膜的弯曲刚度能够确定褶皱的数量。当忽略膜的弯曲刚度而只考虑其几何刚度时, 分歧屈曲分析也能够进行。

张拉圆形薄膜的褶皱是褶皱研究课题中的一个典型的问题。目前已进行了许多分析和实验研究。考虑初始应力的影响, Kárm昣n得出了各向同性圆形板的控制方程。Dean[13]采用三角法的形函数近似求解了在平面内扭转条件下的Kárm昣n方程, 并给出了结果。Suzuki et al[14]利用Rayleigh Ritz法分析了没有弯曲刚度, 只具有几何刚度的圆形张拉薄膜;他们还分析了具有弯曲刚度但不考虑初始应力的薄膜, 并对结果进行了比较。Cheng et al[15,16,17]利用有限差分法分析了褶皱后构形;基于Reissner方程他们也考虑了平面内大旋转对结构的影响, 并将所得的结果与Kárm昣n方程的结果进行了比较。

Tomoshi Miyamura[18]进行了张拉圆形薄膜的实验并采用分歧理论进行了分析。在研究中, 采用了精确考虑几何非线性的四节点膜单元, 利用了非线性有限元方法, 对各向同性聚酯膜材和涂纺织品的正交各向异性PVC膜材进行了分析。实验中观测到的应力分布和褶皱的形状与分析得到的结果吻合得很好。然而, 褶皱详细的形状不能比较, 因为分析中忽略了弯曲刚度, 网格划分的精细程度不合适。从理论上来看, 当忽略弯曲刚度时由于分歧屈曲, 会产生无穷小量的褶皱。然而, 在有限元分析中, 褶皱的数量依赖于网格划分的精度。因此, 通过分歧分析得到有限数量的褶皱。

Y. W. Wong和S. Pellegrino从事航天方面的研究, 许多空间任务需要高精度的薄膜结构, 褶皱的出现会影响这些结构的性能, 并给其操作带来困难。为了决定薄膜结构是否满足特殊使用要求, 预测褶皱的细节是很重要的。为此, 他们提出了薄膜在纯剪切作用下形成褶皱的波长和振幅的预测理论[1]。前提是薄膜被模拟为不可压缩的、可忽略弯曲刚度的二维连续体。

这个理论有三个关键内容:第一, 假设褶皱的方向由标准张力场方法确定;第二, 垂直于褶皱方向的压应力等于临界屈曲应力, 这是一个已知的褶皱波长的函数;第三, 沿着和垂直于褶皱的应力在平面外处于平衡状态, 模拟为双向弯曲壳。

Y.W.Wong等通过非线性有限元理论分析计算了一系列相关的解决方法, 这就对褶皱薄膜的应力分布有了更进一步的认识。基于此, 由Rimrott 和Cverko[8]悬挂毯问题的激发得到了一个简单的分析方法。于是, 得到了褶皱波长和振幅的预测, 它们是剪切角度和薄膜几何材料属性的函数:

λ=π√[3(1−v2)]1/4Ht√γ1/4$\lambda =\frac{\sqrt{\pi }}{[3(1-v{}^2)]{}^{1/4}}\frac{\sqrt{{\rm H}t}}{\gamma {}^{1/4}}$

A=2(1−v)√π√[3(1−v2)]1/4Ht−−−√γ1/4$A=\frac{\sqrt{2(1-v)}}{\sqrt{\pi }[3(1-v{}^2)]{}^{1/4}}\sqrt{{\rm H}t}\gamma {}^{1/4}$

式中 λ——材料泊松比;

H, t——分别为薄膜的宽度和厚度;

γ——剪切角。

这个理论的预测结果与试验测量及ABAQUS有限元模拟的结果吻合得很好, 这表明该理论是精确的。因此, 对于简单剪切状态的薄膜, 其褶皱的半波长λ和振幅A可以由上述公式精确预测。

Y.W.Wong和S.Pellegrino又把此理论扩展到承受四个平面内角部集中力的正方形薄膜[4]。在均匀弹性、各向同性的正方形薄膜角部施加两对大小相同、方向相反的力, 出现两种褶皱样式。一个是由对称或适度的不对称荷载 (T1/T2≈2.5) 产生的, 其特征为相对小的放射状角部褶皱。另一个是由明显的不对称荷载 (T1/T2>2.5) 产生的, 其特征为单一的较大的对角褶皱和四角上相对小的放射状褶皱。对于不同的褶皱样式, 提出了预测褶皱波长、平面外褶皱位移以及薄膜的平面内角部位移的分析方法, 并得到了波长和振幅的预测公式。该预测结果经实验和有限元模拟验证是正确有效的, 但只对0.5m长的薄膜进行了测试, 对于大一倍或两倍的薄膜仍需要验证其正确性。

经过国内外学者多年的研究与实践, 膜结构已进入了广泛的应用阶段, 褶皱问题也成为膜结构领域的热点。本文主要阐述了褶皱发生的机理并简单概括了褶皱的研究成果和现状。今后的研究工作可以考虑材料的非线性对褶皱膜结构受力性能的影响, 通过理论和实验相结合的方法更加深入的研究褶皱膜结构的力学性能等方面, 为膜结构设计提供更充分的理论支持, 促进这种新型空间结构形式的发展。