众所周知, 风灾发生频率高、次生灾害大、影响范围广, 给人类带来了巨大的生命和财产损失。大跨度空间结构因其跨度大、造型复杂, 导致作用其上的风效应异常明显, 历史上由大风、台风引起大跨度空间结构, 尤其是膜结构屋盖撕裂、损毁的实例不胜枚举, 虽然近年来国内外在该方面获得了不少的研究成果, 但大多是建立在数值模拟分析基础上, 少量学者进行了风洞试验研究, 虽然风洞试验可以方便的模拟不同工况条件下的风环境和结构风振响应, 但在真实建筑与模型相似比问题上又会使试验结果与真实数据之间存在较大误差, 而基于现场实测数据的大跨度空间结构模态变异性研究却相对较少。有鉴于此, 本文同步测量了河北某体育馆的振动数据和风荷载数据, 下面将用本文提出的方法对其模态参数随风速的变异性进行分析[1]。

由于膜结构属于柔性结构, 其振动响应具有较强的非线性行为 (几何非线性) , 振动的平衡位置也在不断发生变化, 因此绝大多数适用于线性系统的分析方法在这里已不再适用。

本文选用适合于非线性系统模态识别的小波分析方法做主要分析方法, 其分析具体步骤为:

(1) 应用谐波小波包对膜结构振动数据进行不同频带内划分, 以获得不同频带内的、平稳的膜结构振动曲线。

(2) 应用随机减量技术对不同频带内的振动数据进行平均处理, 以获得响应频带内的膜结构自由振动响应。

(3) 应用Laplace小波函数的自由衰减特性, 对由随机减量得到的结构自由响应进行参数拟合, 以提取其特征参数, 即频率和气动阻尼。

谐波小波 (harmonic wavelet) 是由剑桥大学D.E.Newland教授提出的, 谐波小波是一种复小波, 在频域紧支, 有明确的函数表达式, 其伸缩与平移构成了L2 (R) 空间的规范正交基。谐波小波算法是通过信号的快速傅立叶变化 (FFT) 及其逆变换 (IFFT) 实现的, 算法速度快, 精度高, 因而具有很好的工程实用价值。

小波是满足允许条件的函数, 如果一个小波具有完全“盒形”的频谱将是非常理想的。从这一考虑出发, 设有实偶函数we (t) 和实奇函数wo (t) , 它们的傅立叶变换分别是:

则对W (ω) =We (ω) +j Wo (ω) 有

W (ω) 如图1 (c) 所示, 所对应的函数ω (t) =ωe (t) +jωo (t) 由W (ω) 傅立叶逆变换得:

称 (4) 式定义的函数为谐波小波, 它是复小波, 在频域紧支, 且具有完全“盒形”的频谱。其实部与虚部如图2所示:

根据小波理论对谐波小波进行伸缩、平移就生成谐波小波函数族 (j, k∈Z) :

它在时间尺度上是式 (4) 被拉伸或压缩的结果, 而位置会沿着时间轴运动k个新尺度单位1/2j。

由图3可以看出, 随着小波层 (j) 的增大, 谐波小波的频谱宽度倍增而幅值降低。因此, 对信号的低频部分划分比较细, 而高频部分划分比较粗糙。为了改善其性能可将其升级为小波包函数, 以获得更好的处理高频成分的能力, 小波包分解第j层有2j段, 频段宽fN/2j, m=i×fN/2j, n= (i+1) ×fN/2j, fN=fs/2, fs为信号的采样频率, 对信号的频率划分图4所示。

设结构在随机信号激励下, 某一点的响应信号的时间历程曲线为X=X (t) , 如图5所示。如果在图上过画一条水平线X=X0, 并将此水平线与时间历程曲线的交点所对应的时刻分别记作ti=t1, t2, t3, …, tM;将时间坐标原点后移至ti, 则新得到的时间历程曲线可表示为X=X (ti+τ) 。将依次后移所得时间历程函数平均, 可得到一个新的时间历程函数:

可以证明, 当M充分大之后, δ (τ) 将表示该系统以X0为初位移的自由衰减信号, 这时称δ (τ) 为随机减量函数, 或称为RD函数。

与谱方法相比, 随机减量技术没有输入幅值和分辨率的限制;然而要生成重复性信号, 就必须对大量的数据段进行整体平均, 因此要求的数据量较大。随机减量技术一般用于宽带激励的线性窄带系统, 这种方法特别适用于结构在风荷载作用下的抖振分析。另外, 也可以用于具有非线性阻尼的系统, 采用随机减量技术对非线性系统进行评估的精确性取决于所考虑的周期数.因此, 当分析的信号为宽带、非平稳或多分量时, 应将其与小波时频分析方法相结合。

Laplace小波ψγ在复数空间内呈“蜗牛状”螺旋衰减, 图6给出了ψγ在实平面和复平面上的投影Re (ψγ) 和lm (ψγ) , 显然, Re (ψγ) 和lm (ψγ) 与单自由度结构系统的自由衰减响应函数非常相似。从小波理论可知, 复数小波可以实现光滑、连续的小波变换, 从而保证信号的相位信息不失真。可以形象的说, Laplace小波对信号的逼近不是通过简单的平移, 而是象拧螺丝一样连续前进, 这样, 它能够观测到信号的每一个细节。其函数如图6所示。

Laplace小波ψγ的紧支性是显而易见的, 可以证明它满足小波的允许条件:

式中为ψγ的傅立叶变换。γ={1, 0.1, 0}时, Re (ψγ) 时域波形和频谱见图7, 可见, Re (ψγ) 实际上是一个高通滤波器。

当γ1={f1, ξ, τ}, γ2={f2, ξ, τ}时, 可以证明

式中[ψγ1, ψγ2]表示内积, 可见, Laplace小波不具备正交性。

由于Laplace小波缺乏正交性及滤波性, 因此, 不能应用基于正交展开的传统小波分解和重构方法来应用Laplace小波, 提出Laplace小波的主要目的是为了识别信号中的冲击响应波形, 而不去关心信号的其它成分, 因此, 也没必要将整个信号分解为一组Laplace小波基函数的线性和。基于这两点, 我们提出了Laplace小波基函数相关滤波法, 搜索信号中的单边衰减波形发生的时刻、振荡频率和阻尼比, 实现被测对象的模态参数识别。

令集合F, Z和T分别为:

设离散网格空间Γ=F×Z×T, 则Laplace小波基函数库可以定义为一组ψγ的集合ψ, 它满足:

式中, ψγ为Laplace小波基函数库ψ的小波原子。

内积可度量信号之间的相关性。若信号x (t) 是某个系统S的输出, 通过计算x (t) 与Laplace小波原子ψγ的内积, 可估计它们之间的相似性, 从而得到S的模态参数与ψγ的频率、阻尼特性的对应关系。对于两个有限长的离散矢量, 其内积和点积相等, 它可以定义为

若x (t) 与ψγ完全相关, 则它们之间的夹角θ=0。可定义一个相关系数kγ来量化x (t) 与ψγ之间的夹角

考虑到γ∈Γ, 则kτ实际上是一个多维矩阵, 它的维数由空间Γ=F×Z×T来决定。为了寻找每个时刻τ与x (t) 相关性最强的ψγ, 需要在τ时刻的矩阵kτ中寻找其最大值k (τ) 。

中找出峰值点。

本文将谐波小波包、随机减量技术和Laplace小波联合使用, 对实测数据进行了大量分析, 分析结果如图8、图9所示。

通过图9中的Lapace系数图谱可直观的看出结构的振动频率及阻尼值, 其Lapace系数图谱最高点所对应的频率及阻尼值即是信号的振动主频和阻尼值。该图中的频率和阻尼比分别为1.29Hz和6.1%, 可发现其阻尼值较通常的多高层及超高层建筑大得多。

利用该方法, 本文对采集到的24h振动数据进行了分析, 每次分析时长20min, 共获得72次分析结果, 分析结果随时间变化情况见图10。从图10中可看出, 该结构前三阶模态频率分别约为1.29、1.73和2.24Hz, 阻尼比分别为0.061、0.035和0.037。

本文对采集到的同时刻的风速数据和识别出的模态频率、模态阻尼数据进行了分析, 结果见图11。

从图11中可以看出, 当风速发生变化时, 结构的前3阶模态频率及阻尼基本保持稳定, 没有呈现出明显的规律性, 其频率分别为:1.29Hz、1.73Hz和2.24Hz;对应的模态阻尼比分别为6.1%、3.5%和3.7%, 且随模态阶数的增加阻尼比呈下降趋势。

利用本文中介绍的方法, 基于实测数据对该大跨度空间结构模态参数进行系统识别, 得出以下结论:

(1) 谐波小波包、随机减量和Laplace小波联合分析方法可有效识别该大跨度空间结构的频率、阻尼比等动力参数, 该方法特别适用于大数据量结构动力参数识别, 由于有随机减量技术的介入, 使该方法随着数据量的增加, 其分析结果也更为可靠, 且具有较强的抗噪声能力, 同时, 谐波小波包方法的引入, 也使得该方法具有着非线性系统的模态识别能力;

(2) 模态参数识别结果显示, 由于有膜结构气动阻尼的介入, 该结构总阻尼比较常规结构为大, 为0.61, 且随模态阶数升高, 其阻尼器呈下降趋势;

(3) 相关性分析结果显示, 该大跨度空间结构模态频率、模态阻尼比随风速没有呈现出明显的变化规律, 基本保持稳定, 说明该大跨度空间结构虽然属膜结构, 但整体而言并不属于风致敏感性结构。