薄膜离散结构节点处的动力平衡方程是一个复杂的非线性动力方程[2], 结构的运动方程为:

用隐式直接积分法求解动力响应问题可以归结为在已知t时刻的节点位移, 速度, 以及加速度后, 求解下一时刻的方程 (1) , 即

式 (2) 的解比线性问题的求解困难, 这是由于他含非线性项{F}。为克服这个困难, 可以利用近似的线性化再加上迭代的办法。这个方法的第一步是将式 (2) 线性化, 即取:

把式 (b) 代入式 (2) , 得线性化后的动力平衡方程

式 (3) 中只有Δ{u}是未知, 所以可以求得。但是这样求得的值有很大的误差, 再若干个时间步后计算积累起来, 使结果严重偏离精确解。为了避免这样的情况, 应当在每个时间步的计算中, 加入一个迭代的过程。具体方法如下:设已由式 (3) 按某一近似积分法算出了Δ{u}i-1, 则

利用所得的{u}i-1t+Δt重新算得{F}={F}i-1t+Δt, 再次线性化, 即取

将式 (e) 代入 (3) , 得第i次迭代的基本方程为:

由此求出Δ'{u}i, 而根据式 (f) 得Δ{u}i=Δ{u}i-1+Δ'{u}i。再以所得的Δ{u}i代入式 (d) 中进行下一次迭代, 直到Δ'{u}足够小为止。

本文结合纽马克法将上面的求解过程具体化。 (7)

(1) 给出起始的节点位移{u}0, 速度{6) u}0和加速度{¨u}0。

(2) 求上面给出的常数a0, a1, a2, a3, a4, a5

(3) 确定积分过程中时间步长的取值。 (具体取法看下面分析)

(4) 形成有效刚度矩阵。

(5) 形成有效荷载列阵

(6) 解出位移增量的初值

(7) 为了克服线性化带来的误差而作迭代, 可按以下次序进行, 即

a.i=i+1, i表迭代次数。

b.用已求得的Δ{u}作为Δ{u}i-1 (第一次迭代就用上面第6) 步计算出来的结果) , 求i-1次的加速度、速度和位移的近似值,

c.由 (4-10) 可以计算i-1次迭代后的残余力

d.解出第i-1次位移增量的修正量

e.求出第i次的位移增量

f.检验迭代的收敛

满足上面条件则进入下一步, 如果不满足则转到第7) 步

g.如果采用纽马克法, 则在上一步已经结束可以进入下一个时间步的计算当中去, 否则还要进行转化。

本文应用前面理论下编写的计算程序, 取用日本万国博览会馆[3]进行分析:该工程为1985年日本万国博览会“万博中央站”。边界直径50m, 失高14m, 失跨比可认为为1/3, 采用边索和脊索加强, 为多边伞形式柔性膜结构。本文仅从纯索膜结构进行分析, 把模型进行理想化处理, 认为在索与刚构接触处索被固定住不能产生位移。风洞试验体形系数的取值参考文献[4]参数方面进行了小的改动, 脉动风模拟取15m/s下的脉动风, 其它参数如下表:

该模型为一个对称结构、且风振体形系数也是对称取的, 故可以取其中的一个区进行分析:取出一条顶点与边高点连线索一条顶点与边低点连线索, 高点与低点连线的边索,

以及由这3条索包住的一整块膜。统计出一些参数列于下表:

下面结合几个关键节点的位移时程图以及一些关键部位的张力时程图进行分析, 在计算中分考虑了结构与风速的耦合与不考虑风速耦合两种情况, 比较的图形如下:从上面图形可以看出, 伞形结构风与结构的耦合作用还是比较明显的, 考虑耦合作用能减小结构位移与材料上的应力值, 耦合中加入了速度的影响, 加大了结构的阻尼。结构中张力的变化不是很大, 主要是由于结构本身所取的初始张力偏大, 故结构振动幅度不大。

本文先介绍了索膜结构抖振分析方法以及非线性动力响应的解法。通过对计算结果的分析可以得出伞形结构考虑风速与结构振动的耦合能够减小结构振动, 减小索与膜面的应力。