超晶格与多层膜结构的位错强化机制
发布时间:2021年10月26日 点击数:1218
0引言
人们对周期介质的研究已经有半个多世纪了。 最典型的周期介质有超晶格、光子晶体、声子晶体和多层膜等。与超晶格类似,所谓多层膜就是指两种或两种以上的材料交替沉积而成的周期介质。由于这种介质的优良力学性能和光电性质在磁光记录材料、精密偶件和微机械等方面都具有很高的应用价值。事实上,近年来由于多层膜结构具有超硬效应和极强的抗磨性能受到人们普遍关注[1,2,3,4,5,6]。文献[712]对多层膜结构的强化机制进行了研究,指出了材料硬化是界面对位错运动的阻碍引起的,而这种阻碍作用一方面是由于位错在不同材料中的线能量不同,一方面则是由于多层膜结构中应力状态的周期性分布。最早,人们假设界面是理想平面,并用这个假设对材料硬化进行了研究。后来,考虑到多层膜结构的界面上存在着大量的失配位错,而失配位错产生的交变应力场将对位错运动和多层膜结构的机械性能产生重要影响。人们利用交变应力场的周期性,对材料强化机制做了进一步分析。交变应力场包含了共格界面处剪切模量差产生的镜像力和失配位错产生的应力。材料强化是由于界面位错的约束,而弱化则是由于可动位错在层间运动引起的。 换句话说,如果位错在膜内运动的临界应力小于界面应力场约束,位错将限制在层内运动,材料被强化;否则,层内的可动位错将克服界面应力场约束在层间运动,导致材料强度变弱。位错的运动状态决定了材料的机械性能。对多层膜结构的位错动力学进行研究,可为多层膜结构的制备提出更符合实际的物理要求,也可为进一步改善多层膜结构的机械性能提供新的思考。本文注意到界面应力场的周期性,引入正弦平方势对材料强化机制进行了讨论。 在经典力学框架内,把描述位错运动的Seeger方程化为带有固定 力矩的摆 方程[13,14,15,16,17]。用Jacobian椭圆函数解析地刻划了扰动系统和无扰动系统的相平面特征;并在相空间密度均匀分布假设下,引入相面积概念给出了多层膜结构的强化系数。
1运动方程
当薄膜厚度 比较小时,可用单个 位错来描 述[4,6]。为了简单又不失一般性,本文假设层内位错是一段与x轴(多层膜相邻两层的交线)平行的刃型位错[13]。设滑移面 内,位错垂直 于x方向的 “横向”位移为ψ(x,t),则位移ψ(x,t)满足经典的Seeger方程[18]
其中,m是单位位错长度的有效质量,b是Burgers矢量,σ(t)是单位位错长度所受的(应)力,bσ(t)是层内位错产生的应力场;而E(ψ)是与界面位错有关的弹性(势)能。注意到两种材料(比如材料A和B) 的界面AB和BA的位错状态(因弹性势能)不同, 多层膜结构 具有超周 期性。 而界面的 弹性势能E(ψ)也是超周期的。对于两种材料构成的等厚多层膜,我们假设E(ψ)具有如下正弦平方形式[13]:
其中,E0=E(0)是势能幅值,d=a1+a2是多层膜结构的周期,a1,a2是两种材料的厚度。注意到方程 (1)两端都含有E(ψ),但是由于它处的位置不同,其地位和作用是不同的。在方程的右端,起决定作用的是它变化的快慢;而左端起决定作用的则是E(ψ) 的大小。作为近似,它可以是E(ψ)的最大值、平均值或展开式 的第一项。本文用势 能幅值E0代替它。注意到我们感兴趣的情形是系统的稳态情形, 而稳态情形是与时间无关的情形,于是ψ(x,t)退化为ψ(x),而
为常数。波动方程(1)可化为如下形式的常微分方程:
其中,
令
方程(3)可化为标准的、带有固定力矩的摆方程
下面用相平面方法对Q=0和Q≠0两种情况进行讨论。
2Q=0的情形
由式(4)可以看出,Q等于零的系统是层内应力bσ0为零的系统。当然,对于多层膜来说,这是一种理想情况,实际上可能并不存在。但是,对它的分析可以给我们重要启示。
2.1相平面特征
当Q=0时,系统(6)的Hamiltonian可表示为
其中,
h的大小决定于系统的初始状态。按照h的不同取值:h=2,0<h<2和h>2,在相平面上有三类轨道。h=2的轨道是异宿轨道:
它把相平面分为内外两个区域。位错沿这两条轨道运动的周期T为无穷。0<h<2的轨道是周期轨道:
这族轨道描写了位错绕平衡位置的周期运动,其中k=h/2是椭圆函数的模,且k∈(0,1),snτ和cnτ是Jacobian椭园函数。周期T=4 K(κ)。h>2的轨道是旋转轨道:
描写了位错绕不稳定点的周期运动,其中
是椭圆函数的补模,dnτ 为Jacobian椭园函数。周期T=2κ′K(κ′)。当h单调减少时,周期T由零增加到无穷。图1给出了Q=0时系统的有效势和它的相平面特征。从图1可以看出,两条分支线(异宿轨道)把相平面分成了内外两个区域。在分界线内部0<h<2,相轨线为一族椭圆,描写了位错绕平衡位置的周期运动。换句话说,当位错的能量不太大, 系统的Hamiltonian满足条件0<h<2时,位错只能在平衡位置附近运动。这族轨道描写了位错被约束的情形。位错被约束的状态是系统强化的状态。 异宿轨道(h=2)描写了位错沿位错线的运动行为, 但因位错沿这条轨道的周期为无穷,沿这条轨道运动的位错依然是被约束的。在分支线外部h>2,位错运动也是周期的。这族轨道描写了位错跨越势垒在滑移面内的运动行为。
2.2哈密顿量
为了同常规表示一致,我们用H0代替方程(7) 中的h。系统(7)有一个稳定点(ξ,ζ)SFP=(0,0)和两个不稳定点(ξ,ζ)UFP=(±π,0)。做正则变换
系统Hamiltonian化为最简单形式
其中,κ=0对应于稳定的平衡轨道,κ=1对应于过不稳定点的分支轨道。引入作用量J=21π∮ζdξ,将式(9)代入,并完成积分可得
其中,K(κ)和E(κ)是第一类和第二类全椭圆积分。 注意到作用量J是系统的平均相面积,当κ=1时, 由式 (13)可得异宿 轨道包围 的相面积 为AM= 2πJmax=16。
3Q≠0情形
由式(4)可以看出,Q≠0的系统是层内应力bσ0不为零的系统。大多数多层膜材料都属于 这种情况。
3.1分支线
过不稳定点的轨道是分支轨道(或分支线)。当Q≠0时,系统(6)有一个稳定点(ξ,ζ)SFP=(ξs,0)和一个不稳定点(ξ,ζ)UFP=(π-ξs,0),其中稳定点ξs由公式ξs=arcsin Q给出。分支线的Hamiltonian值为
而分支线的相轨迹可表示为H=Hsx或
给出。图2给出了Q=0;0.2;0.4;0.6;0.8;1等情况下的分支轨道。对应于Q=0的分支轨道是异宿轨道,异宿轨道包围的区域呈橄榄状,称为橄榄形区域;对应于Q≠0的分支轨道是同宿轨道,同宿轨道包围的区域呈α-形,称为α-型区域。同宿轨道包围的相面积可表示为
其中,AM是异宿轨道包围的相面积,而α(ξs)由下式
给出,且可近似由公式
表示。由式(17)可以看出,α(ξs)= Aα/AM是同宿轨道和异宿轨道包围的面积比,且0≤α(ξs)≤1,假设相空间密度分布是均匀的,则可用α(ξs)来表示多层膜材料的强化系数。α(ξs)越大,位错被限制在层内运动的能力越强,材料越强化。表1给出了不同应力场情况下多层膜结构的强化系数。从表1可以看出,随着层内应力Q的减小强化系数越来越大。 值得注意的是,稳恒情况下的多层膜系统由方程(3) 描述,它的相平面由(,ζ)表征;而上面的分析是对方程(5)进行的,它的特征由相平面(ξ,ζ)给出。只有将相平面(ξ,ζ)还原为(,ζ)时才是本文关注的多层膜系统。为此,注意到式(5),只需将图2对ζ轴做镜像变换就能完成这种转换,而其他分析和描述保持不变。
表1 不同应力场情况下材料的强化系数 下载原表
3.2相平面特征
系统的稳定性(强化机制)不仅与Q有关,还与系统的初始状态(能量常数)有关。讨论强化机制与Q的关系知,当系统的初始状态位于α-区域内部时, 相轨道是闭合的。这族轨道决定了位错只能在平衡位置附近运动,描写了层内位错被界面势垒约束的情形。正是这族轨道决定了系统被强化。-区域面积越大,系统越强化。当系统的初始状态位于α-区域外部时,相轨道是开放的。这族轨道描写了层内位错跨越界面势垒做层间运动的情形。正是这族轨道导致了材料强度变弱。
4结果与讨论
正如上面所述,系统的稳定性与Q有关(Q越小系统越稳定),同时也与系统的初始状态有关。下面,对此做进一步讨论。
(1)注意到Q =bσ0d/πE0,可见Q的大小取决于层内应变能bσ0d与是界面势垒E0之间的竞争。 Q越小,α(ξs)越大,材料越强化。
(2)要求Q比较小,可能是层内应力bσ0比较小,层内位错克服层间约束的能力比较小。这就是说,bσ0越小系统越强化。换句话说,多层膜的强化主要决定于界面位错的钉扎与堆积。
(3)要求Q比较小,可能是多层膜周期d比较小,d越小,系统的强化系数越大。实验表明,不是周期越大系统越强化,这一点与实验一致;当然实验也表明,不是周期越小材料越硬,而是在某个周期上硬度取最大值。这一点我们将进一步研究。
(4)要求Q比较小,也可能是界面位错产生的势垒高度E0比较大。Peierls指出,位错在滑移面内的横向运动是通过势垒翻越完成的。E0越大势垒越高,位错翻越越困难。换句话说,E0越高,界面对层内位错约束越强,系统越强化。
(5)Q=1的状态是界面约束力与层内应力相等的状态,如果层内位错可以通过涨落或扰动获得能量,它将翻越界面势垒做层间运动。
(6)Q>1的状态是层内应力场大于层间约束的状态。这种情况一旦出现,层内位错可在层间自由运动,系统被绝对弱化。
(7)借用金属物理概念,系统的初始状态可以表现为材料的“退火”或“淬火”状态,也可能表现为二者的中间状态。当Q的取值一定时,初始状态便决定了系统的力学性能。
