基于模态转换的降阶模型在风与膜结构耦合分析的应用研究
发布时间:2021年9月26日 点击数:1055
引言
膜结构不同于传统的刚性结构,其质量轻、柔性大,非线性强,风荷载是其主要控制荷载。风与膜结构的流固耦合作用使风与膜结构形成了高度的非线性体系。如何对该非线性体系进行建模并求解是膜结构抗风设计中的重点和难点问题[1,2]。降阶模型是研究非线性流固耦合问题的重要手段之一[3,4]。使用降阶模型可以减少计算计时,节省计算资源[5,6],由于膜结构风振过程中的流固耦合问题较复杂,计算量较大,因此采用降阶模型对于准确地进行膜结构的抗风设计有着很重要的意义。
非线性体系的降阶技术最初是由Shaw和Pierre提出的非线性正交模态方法[7],该方法引用动力系统理论中不变流形( invariant manifold) 的概念来定义非线性模态,将非线性模态定义为系统相空间中二维不变流形上的运动,该方法只针对没有外荷载作用的体系。对于有外荷载作用的非线性体系,通常是将上述的不变流形技术通过扩展状态空间来实现[5],即将外力看作是附加的状态并建立不变流形,但是这种方法只适用于非线性较小的体系,对于风与膜结构形成的这种非线性较强的体系是不适用的。
本文基于中心流形理论,考虑膜结构强非线性的特点,认为膜结构的模态可以分为主模态和次模态,将膜结构的风振状态表示为主模态的非线性函数,并将次模态表达为主模态的随时间变化的非线性函数,最后通过扩展不变流形方程获得体系的降阶模型。将该降阶模型应用于膜结构的风振耦合分析中,得到了膜结构的风压系数、风振响应等重要参数,并对比了该模型的计算效率。
1降阶模型
1. 1 降阶模型基础
膜结构的动力全阶方程可以写为,
其中,M,C,K分别是m×m的质量、阻尼和刚度矩阵; F( t) 是风荷载,x是n维位移向量。
结构模型的降阶是指对上述方程中各矩阵或向量进行降阶处理,即新的降阶矩阵满足如下方程,
其中
分别是r×r( r < m) 质量、阻尼和刚度矩阵; Fr( t) 是降阶后的风荷载向量,xr是r维位移向量。
其中
,E是单位矩阵,
1. 2 基于模态转换的降阶模型
对方程( 3) 应用模态转换 = Mu,则有
其中J是Λ的雅可比行列式,w( u) 表示新定义的包含单项式uj的非线性向量,
是新的外力向量。
方程( 4) 可以分解为,
ur是主状态,对于降阶模型认为次状态的贡献us不重要因此可以忽略。
则由方程( 4) 描述的体系的降阶模型可以写为,
上式可以进行数值积分,并使用模态转换x( t) = MYur( t) ,其中Y =[Er×r0r× ( n - r)]T来恢复x的全部状态。
以下介绍如何采用扩展不变流形技术进行模型的降阶。对于方程( 5) ,简便起见,引入阶参数λ,则有
其中λi - 1wri( u) 包含了主状态的n阶单项式项,λi - 1wsi( u) 包含了次状态的n阶单项式项。本文的方法中认为主状态ur和次状态us之间存在随时间变化的非线性关系:
其中
是与主次状态相关的未知量。
是时间项,
是时间和空间项
( ur) 是空间项。
将式( 8) 代入式( 7) 并扩展λ不同阶的已知和未知项,得到差分方程。这里通过λ0和λ1的差分方程推导获得不变流形的二阶项为例,说明降阶方程的构造和求解。λ0和λ1的差分方程可以写为,
ws20( t) ,ws21( ur,t) ,ws22( ur) 是由方程( 7b) 的二阶非线性产生的。
以下将讨论如何求解方程( 9) ~ ( 12) 。方程( 9) 可以用卷积积分求解并用Fourier序列表示为,
其中ζj是Js的本征值,ej是膜结构的第j个自然基,ωf是膜结构的自振频率。
接着求解方程( 10) ~ ( 12) 以得到
由于方程( 12) 可以独立求解,则扩展已知函数
和未知函数
,得到
其中
接着求解方程( 10) 和( 11) ,在构造解时要注意包含来自非线性项ws2( ur,t) 的贡献,并以Fourier序列的形式扩展已知和未知项,得到
其中
通过逐项对比,可以得到
对于λ更高阶的方程及求解方程与上述类似,因此可以根据计算问题需要构造方程并进行求解。
2算例分析
这里采用上述介绍的降阶模型对双坡形膜屋面风振的流固耦合问题进行研究。该结构的测点布置见图1,实验采用气弹模型,薄膜在2个方向的张力均为N = 8 N/m,信号采样频率为1 000Hz,采样持续时间90 s。结构屋面坡度为30°结构四周封闭,风速为56. 57 m/s,风向角取0° ~45°,张拉刚度为Et = 215×107N / m; 密度ρ =643. 8 kg / m3,泊松比为ν = 0. 14,薄膜张力N =2. 0 k N / m,实验的详细描述见文献[10]。
首先分别将实验结果[11]、采用ANSYS-CFX,以及本文方法的各测点在不同风向角下风压系数均值进行了比较,结果如表1所示,每隔15°变化一次。
表1给出了采用本文降阶模型计算的不同风向角下各测点风压系数均方根值与实验结果和全阶模型计算结果的对比。
表 1 模型各测点用不同方法所得风压系数均方根值的比较Table 1 Comparison of wind pressure coefficient root mean square between different methods 下载原表
N / m2
分析表1中的数据可以发现,采用本文的降阶模型计算得到的各测点的风压系数均方根值与实验结果和全阶模型计算结果比较接近,其中本文降阶模型计算结果与实验结果相比,各测点结果的平均误差约为5. 67% ; 与全阶模型计算结果相比,各测点结果的平均误差约为6. 82% ,由此可见本文的降阶模型计算结果是准确可靠的。
膜结构是强非线性结构,此类非线性结构模态与线弹性结构模态的最主要区别在于非线性模态间的耦合性较强。那么在采用降阶模型计算时如何选择模态数量是衡量降阶模型的准确性和计算效率的重要指标。按振型贡献率选取模态是较常用的方法[11],但该方法只考虑了结构本身的动力特征,未考虑外部激励,因而准确性还有待考证。本文采用了最大模态位移方法[12]确定控制模态。为防止结果的随机性,选用3个不同高度处的风速( 采用AR模型生成风速场) 求结构的前30阶模态的最大模态竖向位移,得到各模态的最大模态竖向位移平均值,结果见表2。
表 2 前 30 阶模态的最大模态竖向位移绝对值Table 2 Vertical maximum mode displacement absdute for the first 30 modes 下载原表
由表2可以看出,模态1,2,3,4,5,6,7,22这8个模态的竖向位移绝对值相比较大,但比较前6个模态,竖向位移绝对值最大,因此这里首先采用前6个模态作为计算的主状态。计算采用了500个时间步,每一时间步采用前6个模态作为计算的主状态。
图2给出测点1和测点4在0°风向角条件下,采用降阶模型和全阶模型计算时膜结构的风振响应结果对比。
从图2中可以看出,采用6个模态的降阶模型计算的风振响应与采用全阶模型的结果很接近,说明采用6个模态进行计算是恰当的,结果也是正确的。
为进一步说明本文降阶模型采用6个模态作为主状态计算的正确性,图3给出了采用前6个模态和1 ~ 6,7,22这8个模态时测点1和测点4在0°风向角下的位移功率谱对比结果,并与全阶模型计算结果进行了比较。
从图3中可以看出,采用6个模态和8个模态计算得到的位移功率谱与全阶模型的计算结果都很接近,计算误差并不大。然而在计算过程中作者发现,采用8个模态的计算耗时要比采用6个模态的计算耗时多大约56. 8% ,这也就是说,达到几乎同样的计算精度时,采用6个模态的计算耗时要远小于8个模态的耗时,因此证明6个模态的降阶模型计算是最优的。
为说明本文方法的计算效率和计算收敛情况,表3对比了不同时间步采用不同模态数( 按竖向位移绝对值大小取值) 时计算容差收敛的情况。
表 3 不同时间步时采用不同模态数时计算容差收敛情况Table 3 Convergence considering different modes by using different time steps 下载原表
从表2中可以看出,本文的降阶模型方法收敛速度较快,采用6个模态就可将计算容差平均减少到10- 4以下,当模态大于6个时,计算容差更小,但精确程度提高相对较小。同时可以看到,采用6个模态和8个模态时,随时间步的增加精度较接近,再次证明采用前6阶模态作为主模态进行计算是能够符合精度要求的。
为进一步说明本文方法的计算效率,图4( a) 给出了达到同样的计算容差时,采用不同模态的降阶模型时计算风振响应的计算机时与全阶模型的计算机时的对比,图4( b) 给出了降阶模型中最慢收敛时间步( 时间步89) 和最快收敛时间步( 时间步216) 使用不同模态时所需耦合迭代计算次数的对比。
从图4( a) 中可以看出,采用不同模态数进行计算时计算机时随模态数的增加而增多; 在达到同样收敛精度时,使用6个模态的降阶模型的计算耗时比使用9个模态平均约节省65% ; 在使用6个模态时,本文降阶模型比使用全阶模型的计算耗时平均约节省55% ,充分说明本文降阶模型的计算效率很高。
从图4( b) 中可以看出,即便在最慢收敛时间步的条件下,在达到同样收敛精度时,使用本文的降阶模型的耦合迭代次数与全阶模型相比平均减少约60% ,说明本文降阶模型计算的高效性。
3结论
本文基于中心流形理论,考虑膜结构强非线性的特点,认为膜结构的模态可以分为主模态和次模态,将膜结构的风振状态表示为主模态的非线性函数,并将次模态表达为主模态的随时间变化的非线性函数,最后通过扩展不变流形方程获得体系的降阶模型。并将其应用于膜结构风振的流固耦合分析中,主要结论有,
( 1) 采用主模态为主状态的降阶模型可以较准确地计算膜结构的风压系数、风振响应等重要参数; 计算模型收敛性强,采用较少的主模态可以获得较高的计算精度。
( 2) 降阶模型计算效率较高,利用很少的耦合迭代可获得流固耦合问题的解且耗费机时少,其中耗费机时比全阶模型平均减少约55% ,耦合迭代次数比全阶模型平均减少约60% 。
( 3) 基于模态转换进行降阶,将膜结构的模态分为主模态和次模态计算的方法适用于膜结构的风振流固耦合计算中。
